Полумесяц (цата), расположенный в нижней части креста, не имеет никакого отношения ни к мусульманской религии, ни к победе над мусульманами (хотя эта версия и встречается в литературе). Кресты с полумесяцем украшали ещё древние храмы: Церковь Покрова на Нерли (1165 год), Дмитриевский собор во Владимире (1197 год) и другие, до столкновения с мусульманами.

В Византии тех времён цату связывали с царской властью. Возможно, отсюда следует появление её как символа великокняжеского достоинства на портрете киевского князя Ярослава Изяславича в «Царственном летописце» XVI века.

В иконографии цата участвует как элемент святительского облачения Святителя Николая Чудотворца, а также встречается на других иконах: Святой Троицы, Спасителя, Пресвятой Богородицы. Из этого можно заключить, что цата на кресте связана с Господом Иисусом Христом в его роли Царя и Первосвященника. Крест же на куполе храма напоминает о принадлежности его Царю царствующих и Господу господствующих.

Из ранних времён христианства можно проследить ещё одно значение креста с полумесяцем. В посланиях апостола Павла есть рассуждение о том, что христиане имеют возможность «взяться за предлежащую надежду, то есть Крест, который для души есть как якорь безопасный и крепкий» (Евр. 6, 18-19). Это одновременно и символическая защита от поругания язычниками и знак избавления от последствий греха, знак прибытия корабля церковного в тихую пристань жизни вечной через бурные волны краткой земной жизни.

Явное указание на месяц присутствует в откровении Иоанна Богослова: «И явилось на небе великое знамение: жена, облаченная в солнце, под ногами ее луна и на главе ее венец из 12 звезд». Это отражают установленные на куполах храма Софии Вологодской (1570 год), Свято-Троицкого собора Верхотурья (1703 год), храма блаженного Косьмы в городе Костылево кресты с причудливым орнаментом: двенадцатью звездами на исходящих из центра лучах и с полумесяцем снизу.

В святоотеческой традиции упоминаются и другие значения полумесяца: так, например, говорят про Вифлеемскую колыбель, принявшую Богомладенца Христа; рассматривают полумесяц как форму евхаристической чаши и крещальной купели; ещё называют кораблём церковным

Большое спасибо!

Дома у меня такое распятие.

Похож на византийский, только там должно быть прямой подножной планке.
А у меня такое распятие

У нас называется крест св. Дамиана. Выполненный, конечно, в византийской традиции.